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两算得失相反要令正负以名之（第1页）

以所得副从定法，复除折下如前：这一段是指演算如前，即再以300x1+4300=4600向右移一位，得460，是第三位方根的定法，再把借算移到个位；又议得三商应为5，再置5于商的个位，以5+460=465，再乘以三商5，得465x5=2325经计算恰尽，因此得平方根为235。）

上述由图1－25（1）—（10）是按算筹进行演算的，看起来似乎很繁琐，实际上步骤十分清楚，易于操作。

它的开平方原理与现代开平方原理相同。

其中“借算”的右移、左移在现代的观点下可以理解为一次变换和代换。

《九章算术》时代并没有理解到变换和代换，但是这对以后宋、元时期高次方程的解法是有深远影响的。

《九章算术》方程章中的“方程”是专指多元一次方程组而言，与“方程”的含义并不相同。

《九章算术》中多元一次方程组的解法，是将它们的系数和常数项用算筹摆成“方阵”（所以称之谓“方程”）。

消元的过程相当于现代大学课程高等代数中的线性变换。

由于《九章算术》在用直除法解一次方程组过程中，不可避免地要出现正负数的问题，于是在方程章第三题中明确提出了正负术。

刘徽在该术的注文里实质上给出了正、负数的定义：“”。

并在计算工具即算筹上加以区别“正算赤，负算黑，否则以邪正为异”。

这就是规定正数用红色算筹，负数用黑色算筹。如果只有同色算筹的话，则遇到正数将筹正放，负数时邪（同斜）放。宋代以后出现笔算也相应地用红、黑色数码字以区别正、负数，或在个位数上记斜划以表示负数，如（即—1824），后来这种包括负数写法在内的中国数码字还传到日本。

关于正、负数的加减运算法则，“正负术曰：同名相益，异名相除，正无入负之，负无入正之。其异名相除，同名相益，正无入正之，负无入负之”。这里所说的“同名”、“异名”分别相当于所说的同号、异号。“相益”、“相除”是指二数相加、相减。术文前四句是减法运算法则：

（1）如果被减数绝对值大于减数绝对值，即a＞b≥0，

则同名相益：（±a）-（±b）=±（a-b），

异名相除：（±a）-（b）=±（a+b）。

（2）如果被减数绝对值小于减数绝对值，即b＞a≥0。

1如果两数皆正

则a-b=a-[a+（b-a）]=-（b-a）。

中间一式的a和a对消，而（b-a）无可对消，则改“正”为“负”，即“正无入负之”。“无入”就是无对，也就是无可对消（或不够减或对方为零）。

2如果两数皆负

则（-a）-（-b）=－a-[（-a）-（b-a）]=+（b-a）。在中间的式子里（-a）和（-a）对消，而-（b-a）无可对消，则改“负”为“正”所以说“负无入正之”。

3如果两数一正一负。则仍同（1）的异名相益。

术文的后四句是指正负数加法运算法则

（1）同号两数相加，即同名相益，其和的绝对值等于两数绝对值和。

如果a＞0，b＞0，

则a+b=a+b，（-a）+（-b）=-（a+b）

（2）异号两数相加，实为相减，即异名相除。如果正数的绝对值较大，其和为正，即“正无入正之”。如果负数的绝对值较大，其和为负，即“负无入负之”。用符号表示为

1如果a＞b≥0，

则a+（-b）=[b+（a-b）]+（-b）=a-b，

或（-a）+b=[（-b）－（a-b）]+b=-（a-b）。

2如果b＞a≥0，

则a+（-b）=a+[（-a）-（b-a）]=-（b-a），

或（-a）+b=（-a）+[a+（b-a）]=b-a。

关于正负数的乘除法则，在《九章算术》时代或许会遇到有关正负数的乘除运算。

可惜书中并未论及，直到元代朱世杰于《算学启蒙》（1299年）中才有明确的记载：“同名相乘为正，异名相乘为负”，“同名相除所得为正，异名相除所得为负”，因此至迟于13世纪末中国对有理数四则运算法则已经全面作了总结。

至于正负数概念的引入，正负数加减运算法则的形成的历史记录，中国更是遥遥领先。

国外首先承认负数的是七世纪印度数学家婆罗门岌多（约598-？）欧洲到16世纪才承认负数。

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